terça-feira, 28 de setembro de 2010

Você realmente conhece os números reais?

           Caro visitante, você conhece bem os números reais? Este é um assunto que faz parte da vida de todo estudante do último cíclo do ensino fundamental e faz parte do programa de Matemática de todo o ensino médio. Uma grande fração dos cursos universitários faz uso deste conhecimento. Assim, me parece uma pergunta a se considerar com carinho. Nestes casos que acabei de apontar, o conhecimento de números reais é usado. Agora, se você já é professor, ou está se preparando para ser, a pergunta fica mais abrangente. Neste caso, eu pergunto se você saberia ensinar este conceito.

Certa vez, tentando entender porque meus alunos não apresentavam bom rendimento na disciplina de Análise, fui procurar entender o que meus alunos sabiam sobre os números reais. Descobri que os livros didáticos apresentavam este assunto muito rapidamente. Na verdade, acho que isto é feito de modo tão rápido que se pode dizer que eles não apresentam o conteúdo ao aluno. Nas minhas leituras, comecei a perceber que a grande maioria dos livros didáticos, não só do ensino básico, fazem referência aos números reais de uma forma que me incomodou bastante.

Para enender este problema, vamos fazer um exercício e tentar nos colocar no lugar de um estudante que vai aprender sobre os números reais. Ele está construindo seu conhecimento sobre o assunto. Vamos imaginar que, no momento, ele conheça somente os números racionais. Para que se fale em novos números parece que é preciso apresentar antes este novo conjunto numérico. Mas, vejamos alguns trechos retirados de livros didáticos sobre o assunto.


“Há números cuja representação é um decimal infinito e não-periódico.”

“Um número que não pode ser expresso como uma razão de dois inteiros chama-se número irracional.”

“Existem números que não são racionais. Números como esses, que jamais se escrevem sob a forma de fração com numerador inteiro e denominador inteiro diferente de zero, chamam-se não racionais ou irracionais.”

“Números irracionais são aqueles que não podem ser escritos na forma de fração.”

Na sequência destes livros, o que se vê é a afirmação de que “os números reais são a reunião dos números racionais com os números irracionais”.

Vejamos como eu imagino que seria uma apresentação dos números reais em uma sala de aula, segundo os livros didáticos. Mas, lembre-se da nossa convenção de admitir que só conhecemos os números racionais.

Chega o professor em sala e fala: “número irracional é todo número que não é racional”. O que você acha? Isto faz sentido? Até então, todo número é racional e ponto. Não é assim? Esta conversa não parece um tanto irracional?

Mas, se perceber esta dúvida, o professor pode argumentar: “Existe um conjunto de números maior do que os números racionais, é o conjunto dos números reais”. Acho que é natural, então, perguntar: “Quem é este tal conjunto de números reais?”. Seguindo a lógica de muitos livros didáticos, o professor provavelmente responderá: “Os números reais são formados pelos números racionais e irracionais”. Recomeça a nossa história: “Mas, o que são os números irracionais?”...

Agora, imagine se um aluno mais tímido aceita passivamente esta definição sem nexo. Então, ele pode pensar que tudo que não é racional é irracional? Imagine, então, quando o aluno aprender novos conjuntos. Ele poderá perguntar, por exemplo, se uma matriz é irracional? Ah, só vale para número. Imagine agora quando o aluno aprender sobre os números complexos, que é um conjunto numérico também. Se ele ficar com a idéia de que “o número que não é racional é irracional”, poderá, então, deduzir que todo número complexo que não é racional é irracional, não é? O número i é irracional? 2 + i é irracional? E a situação ainda piora... se os irracionais contêm os números complexos e se o conjunto dos números reais é formado pelos racionais e irracionais então o conjunto dos números complexos está contido no conjunto dos reais? Que confusão!

Uma sugestão: pesquise e veja se você encontra definições assim. Pense e veja se é justo com os alunos continuar a propagar este tipo de trabalho. A propósito, nem todo livro apresenta o conceito de número real desta forma, mas se você fizer uma leitura mais atenta, aposto como verá que a situação quase sempre se reduz a que acabei de narrar. Confira!

Será que não é possível fazer uma abordagem mais coerente e didática sobre o assunto? Venhamos e convenhamos, não é possível que a única maneira de se lidar com os números reais seja por meio da representação decimal infinita e não-periódica. Além do mais, os professores vivem tentando combater a idéia de que a Matemática é artificial. Só que, com a apresentação dos números reais a partir da exibição de sequências como 1,0100100010001..., fica difícil ser bem sucedido neste combate.

Será que não é possível apresentar explicitamente um modelo do conjunto dos números reais? Bem entendido, “apresentar explicitamente” deve significar construir um modelo a partir de conhecimentos anteriores, no caso, os números racionais.

Só para ficar claro que as apresentações convencionais sobre os números reais não são boas, vamos adotar aquela visão de que o conjunto dos números reais é aquele que se coloca em correspondência biunívoca com uma reta. Neste caso, podemos concluir que o conjuntos dos números reias é igual ao conjunto dos números complexos.

De fato, os números complexos podem ser vistos como pares (a, b), com a, b ÎR. Se a0,a1a2a3... e b0,b1b2b3... são a representação decimal infinita de a e b, respectivamente, vamos fazer (a, b) corresponder ao ponto da reta cuja representação decimal seja a0,b0a1b1a2b2a3b3.... Como o processo pode ser invertido, temos uma correspondência biunívoca entre pontos de C e R. Logo, C = R.

E agora, você acha que conhece os números reais?

domingo, 26 de setembro de 2010

Com (ou por que) a Matemática nos torna pessoas melhores?

Esta é uma pergunta que já me fiz várias vezes, e de vez em quando torno a repetí-la.

Na verdade, considero que esta é uma variação mais interessante da pergunta que ouço constantemente: "Por que eu preciso estudar Matemática?" (É a pergunta que meus alunos, além de conhecidos, quando ficam sabendo da minha profissão, sempre me fazem.)

Eu não gosto da forma como me fazem a pergunta, pois costuma ter um caráter utilitarista e não me atrai este tipo de preocupação. Ainda assim, sempre tentei responder a este tipo de pergunta contando sobre as várias aplicações da Matemática nas ciências, no cotidiano de uma pessoa comum, na natureza, etc. Inclusive, nestas ocasiões, sempre repasso a história contada por Caraça (autor de livro indicado na minha primeira postagem) sobre a relação entre o conhecimento matemático dividido por uma sociedade e o seu grau de evolução. Na realidade, é tão fácil encontrar situações onde a Matemática aparece como útil que hoje em dia só respondo o seguinte: Me diga onde a Matemática não pode ser aplicada.

Encontrar situações onde a Matemática é útil é a coisa mais fácil do mundo. Logo, por que estudar Matemática me parece uma pergunta ultrapassada. Ainda assim, tenho certeza que exemplos de aplicação da Matemática não convencem as pessoas de que é importante estudar Matemática.

Voltando à minha primeira pergunta, me parece que sua reposta pode ser mais interessante. Será que, se eu estudar Matemática, vou me tornar uma pessoa com mais competências, com habilidades extras? Como isto vai acontecer?

No meu caso, por exemplo, a resposta é fácil. Quanto mais Matemática souber, melhor profissional serei, pois trabalho diretamente com este conhecimento. Neste caso, terei melhores ofertas de trabalho e terei mais dinheiro e mais qualidade de vida. A situação não é muito diferente para outros tipos de profissionais como engenheiros, físicos, economistas, contadores, etc. Mesmo assim, já me peguei perguntando se eu, no meu caso particular, me tornei uma pessoa melhor através do meu conhecimento matemático adquirido.

Eu acredito que este é o caso, sim. Acredito que ter uma boa formação matemática faz tão bem para uma pessoa quanto faz bem ter sido bem alfabetizado, praticar um esporte ou conhecer um pouco de arte. Vou dar um pequeno exemplo de uma situação onde acabei usando meus conhecimento de Matemática.

Certa vez, estávamos eu e minha esposa com nossa primeira filha, na época com menos de 1 ano de idade, na casa de um casal de amigos. Era um dia quente e estávamos na piscina. Quando foi de tarde, o sol já não batia na casa e a temperatura estava bem amena, mas ainda relativamente quente. Mas, estava preocupado com o fato da nossa filha estar na piscina por tanto tempo, eu achava que ela podia estar sentindo frio. Falei com minha esposa que achava que nossa filha devia sair da piscina, mas ela não me deu bola e nossos amigos ficaram zombando de mim, dizendo que estava sendo um pai exageradamente protetor. Depois de um tempo sendo ridicularizado por todos (estávamos descontraídos e brincando), resolvi atacar e expliquei o que estava acontecendo.

É neste momento desta minha história que entra aquela questão sobre quem sente mais frio, o pai ou o filho. Eu expliquei para o pessoal que quando um corpo aumenta, digamos, duas vezes, o seu volume aumenta oito vezes, enquanto sua superfície aumenta só quatro vezes (o aumeto do volume é proporcional ao cubo de suas dimenões, enquanto a área é proporcional ao quadrado). Assim, proporcionalmente, quanto maior o corpo, menor é a área de troca de calor, ou seja, menor é a perda de calor. Logo, numa criança, em condições iguais a de um adulto, a sensação de frio é muito maior. Ou seja, provei para a turma, matematicamente, que eles não podiam se basear na sensação deles de calor e que minha preocupação com minha filha procedia. E provei também que eles não podiam discutir com alguém como eu, de formação fora do comum (esta fala foi de alguém dando o troco na brincadeira).

segunda-feira, 20 de setembro de 2010

2 e 2 não são 4.

Um probleminha clássico, entre pessoas que gostam de testar o conhecimento matemático dos outros, é quando se pergunta quando 2 e 2 não são 4. Aí, a resposta sem graça (bom, eu não vejo graça) é: quando os 2´s são colocados um do lado do outro. Neste caso o resultado é 22.

Para quem gosta deste tipo de problema, pergunto, então, qual é o maior número que se pode obter somente com o símbolo 2, usado três vezes. Será que é 222?

Para quem conseguir resolver o problema, faço outra pergunta. Qual é o maior número que se pode obter somente com o símbolo 4 usado três vezes?

domingo, 19 de setembro de 2010

Formas e Arquitetura - parte 2 de 2

Vou tentar explicar como é o processo de variação de temperatura de um corpo (que me perdoem os Físicos por imprecisões cometidas na minha explicação).

Um corpo é formado pela sua massa e a região ocupada por esta massa é limitada pela sua superfície. Um corpo tende a regular sua temperatura com a do ambiente. Se há uma mudança de temperatura do ambiente, a temperatura do corpo também irá mudar. Por exemplo, um litro de água dentro da geladeira terá uma determinada temperatura, igual à do interior da geladeira. Se o litro de água é deixado fora da geladeira, a temperatura da água ira aumentar, até se igualar à do ambiente.

O que é preciso entender neste processo é que a mudança de temperatura é feita através da superfície do corpo, ou melhor, a mudança de temperatura se dá com a troca de calor entre a massa do corpo e a do ambiente e isto é feito através da superfície. O que isto tem a ver com forma? Dependendo da forma do corpo, uma mesma massa pode estar limitada por superfícies de tamanhos diferentes. Daí, a troca de calor poderá ser feita com mais rapidez, no caso de uma superfície maior.

Para facilitar a nossa conversa, em vez de trabalhar com volumes e superfícies, veja a ideia passada no desenho a seguir, com áreas e perímetros. Na figura, veja como as duas regiões têm a mesma área, mas perímetro diferente (pode fazer isto por contagem mesmo :) ).

De modo geral, levando o problema de volta para dimensão 3, para uma mesma massa (mesmo volume), quanto mais sinuosa for a forma do corpo, com mais entradas e saídas, maior será a superfície do corpo.

Agora, o que esta conversa tem a ver com arquitetura. Imagine que o desenho anterior represente a planta de duas casas. Neste caso, vemos que as duas casas têm a mesma área de ocupação. Contudo, pelo perímetro de cada planta, temos que a segunda casa exigirá um gasto muito menor com a construção das paredes (se gastará menos com tijolo, cimento, massa e tinta). Neste caso, parece que o projeto da direita é muito melhor, não é?

Vamos juntar todas as informações que temos até aqui. Num projeto arquitetônico de casa, pode-se construir uma casa de mesma área, mas com formas variadas. Uma forma mais simples para o projeto parece ser a melhor opção, pois significa economia na construção da casa. Por outro lado uma casa mais fresca é um fator fundamental, principalmente em nosso país. Por exemplo, quanto mais fresca a casa, mais se economiza com ar condicionado. Como se obter uma casa mais fresca? Pelo que conversamos, basta escolher um projeto que tenha a maior superfície possível. Por exemplo, a forma da casa deve ter várias entradas e saídas (como no desenho da esquerda, acima), deve ter as paredes altas e telhados com grande inclinação. Enfim, deve-se procurar projetar uma casa com a maior superfície possível. É claro que uma superfície maior significa maior gasto na construção, mas significa também maior economia com ventilador e ar condicionado, além de bem estar.

Sugiro um teste. Só por curiosidade, pergunte a um arquiteto sobre estas questões. Veja se ele sabe do valor que a forma de uma casa tem para este tipo de questão.

E agora, será que você sabe dizer quem sente mais frio, o pai ou o filho, e saber explicar o porque?

quarta-feira, 15 de setembro de 2010

Formas e Arquitetura - parte 1 de 2

Um pequeno problema: Imagine duas pessoas, uma pequena e outra grande, digamos, pai e filho. Imagine também que as duas pessoas estão vestidas da mesma maneira, as duas estão de calça, as duas estão de sapato, as duas estão de casaco do mesmo material, etc. A única diferença é o tamanho. Neste caso, quem deve sentir mais frio (ou calor), o pai ou o filho?

Vou esperar comentários para dar a resposta certa, com a justificativa certa.

O que este problema tem a ver com o título? Na segunda parte da postagem eu respondo esta outra questão.

Exercícios de espaço gerado

Segue alguns exercícios envolvendo combinação linear e geradores.

terça-feira, 14 de setembro de 2010

GeoGebra

GeoGebra é um programa de Geometria Dinâmica muito interessante. E o melhor de tudo é que é um programa livre. Uma boa maneira de adquirir este programa é pelo endereço

http://www.professores.uff.br/hjbortol/geogebra/index.html

do professor Humberto José Bortolossi. Lá você encontra outras informações interessantes sobre o assunto. Se você tem curiosidade sobre o assunto, instale este programa no seu computador. Eu ainda farei comentários sobre como este programa pode ser útil. Por exemplo, muitas das figuras que apresento neste blog são construídas no GeoGebra.

Se você quiser ter uma pequena ideia do poder deste programa de Geometria Dinâmica, escreva a palavra geogebra, no YouTube, e mande pesquisar. Aí, é só assistir aos videos.

sábado, 11 de setembro de 2010

Gabarito

Veja os problemas da postagem do dia 5 de setembro resolvidos de duas maneiras, por contagem e através de alguma técnica.

Exemplo 3: Um comerciante compra um determinado produto do fabricante. Este cobra 100 reais pela entrega e mais 15 reais por cada peça. Porém, o comerciante descobriu um novo fabricante que vende o mesmo tipo de peça, mas por 13 reais a unidade. O problema é que a taxa de entrega é de 150 reais. Se o comerciante pretende comprar 14 peças, qual fabricante oferece as melhores condições?


Solução: É só contar. Vejamos a lista de preço por peças compradas.
1º Fabricante: 115, 130, 145, 160, 175, 190, 205, 220, 235, 250, 265, 280, 395, 310.
2º Fabricante: 163, 176, 189, 202, 215, 228, 241, 254, 267, 280, 293, 306, 319, 332.
Assim, é vantagem comprar com o primeiro fabricante.

Uma forma de resolver o problema é comparando expressões. A fórmula do preço para cada fabricante é:
1º Fabricante: y = 15x + 100
2º Fabricante: y = 13x + 150
Para x = 14 temos:
1º Fabricante: y = 15.14 + 100 = 310
2º Fabricante: y = 13.14 + 150 = 332

Exemplo 4: Uma piscina de 300 litros, vazia, recebe água a uma vazão constante. Imagine que você tenha um balde de 6 litros e que marcou o tempo que levava para encher o balde, 2 minutos. Quando a piscina ficará cheia?

Solução: Contando, temos a quantidade de litros a cada 2 minutos: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, ...
Dá para ver que esta contagem de 2 em 2 minutos vai levar um tempo. Pelo padrão de repetição de valores, pode ser interessante contar de 10 em 10 minutos. Aí, temos: 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300. Assim, depois de 100 = 10.10 minutos, a piscina ficará cheia.

Por regra de 3, pode-se resolver o problema mais facilmente: 6 está para 2, assim como 300 está para t. Logo, 6/2 = 300/t, donde t = 2.300/6 = 100.

Exemplo 5: Determine o número de múltiplos de 4 que estão entre 15 e 65.

Solução: Os múltiplos de 4 entre 15 e 65 são: 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64. Logo, o número de múltiplos no intervalo dado é 13.

É claro que se você sabe progressão aritmética, pode considerar a sequência de 1º termo, 16, e razão, 4. O n-ésimo termo é 64. Logo, n é dado por 64 = 16 + (n – 1)4, donde n = 52/4 = 13.

Exemplo 1: Uma solução nada convencional para este problema é simplesmente medir, contando através da unidade, cada lado. O problema é que a unidade do desenho não se sobrepõe a dois lados do triângulo. Para contornar este problema, use um compasso. É imediato verificar que o perímetro é 12.
Exemplo 6: Determine a probabilidade de se obter, em dois lançamentos de um dado, o número 2 e 3, independente da ordem.

Solução: Para resolver, basta saber contar e o significado do termo probabilidade. No caso, a probabilidade de um evento acontecer é dada pela razão entre o número de casos favoráveis e o número de possíveis casos.
Números de casos favoráveis: Este número é fácil de se obter. Temos a possibilidade de resultados (2, 3) e temos a possibilidade (3, 2). São 2 casos favoráveis.
Número de casos possíveis: Para determinar este número, basta enumerar os casos possíveis. Temos (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6). O total é de 36 casos possíveis.
Assim, a probabilidade é 2/36 ~ 0,05 = 5%.

Podemos obter este valor diretamente, a partir de técnicas da teoria de Probabilidade. Por exemplo, podemos dividir o problema em dois eventos. O primeiro evento é dado pelo lançamento do dado e ocorrendo 2, cuja probabilidade é 1/6. O segundo evento é dado pelo lançamento do dado e ocorrendo 3, cuja probabilidade é 1/6. Como estes dois eventos são independentes, a probabilidade de que ocorra 2 no primeiro lançamento e 3 no segundo lançamento é dada por 1/6.1/6 = 1/36. Repetindo o raciocínio para o sorteio de 3 e 2 nos dois lançamentos, temos que o resultado é 1/36 + 1/36 = 2/36.

Comentários: 1) Comparando as soluções, deve ficar claro que contagem não é o processo mais eficiente, mas se você não sabe nenhuma técnica, contagem pode ser uma ótima opção.


2) A realização de contagens, para quem está aprendendo Matemática, deve ser uma ótima oportunidade para perceber padrões e desenvolver estratégias. Isto pode ser utilizado nas situações mais simples como o entendimento da notação decimal e a definição de soma, assim como do algoritmo da soma. Mais uma vez, alerto para a possibilidade de se desenvolver boas aulas com o uso de contagens.

3) Existem técnicas interessantes para se fazer contagem sem esforço. Um exemplo é a utilização de uma trena. Com este recurso, o problema do exemplo 5 pode ser resolvido posicionando um pedaço de barbante medindo 4 cm em cima do primeiro múltiplo depois de 15, o 16. Aí, basta pular com o barbante de marca em marca, até chegar na última marca antes de 65. Não pode esquecer de contar quantas marcas foram obtidas.

4) Este pode ser por sua conta, participe.

Exercícios de Sistemas de Equações

Esta lista de sistemas de equações é para meus alunos da faculdade, mas, quem quiser se distrair, fique à vontade. (Se você na estiver enxergando bem o enunciado, clique no texto que aparecerá uma tela mais nítida.)




















Observação: Eu ainda não sei se vou divulgar o gabarito (o maior exercício é saber que sabe a resposta certa, e não só encontrar a resposta que acha que é certa). Na dúvida, use o campo comentários para discutir as respostas.

terça-feira, 7 de setembro de 2010

Sobre uma iniciação à Matemática - continuação

O conhecimento matemático, tradicionalmente, em termos históricos e escolares, se baseia em dois pilares: Geometria e números. No post do dia 05/09/2010, falou-se sobre qual seria um primeiro passo no estudo da Matemática, o processo de contagem. Esta é uma visão a partir de um conhecimento sobre números.

É interessante ampliar este processo de iniciação ao estudo da Matemática. Veja, com alguns exemplos, como a Geometria também pode aparecer naturalmente na construção de um bom conhecimento matemático.

Exemplo 1: Veja a figura a seguir.

Olhando os objetos da forma desordenada que estão, a única maneira de contar estes objetos é passando a vista por cada um deles, de um em um. Agora, olhe a figura a seguir, formada com os mesmos objetos, mas organizados numa forma retangular.

Ainda podemos contar objeto por objeto. Mas, vamos apenas contar só os objetos da base e da altura. Na base, temos 12 objetos. Na altura, temos 11. Assim, o total de objetos pode ser calculado por: Total de objetos = 12×11 = 131.

Exemplo 2: Você consegue contar rapidamente o número de quadrados na seguinte figura?
Sinceramente, não parece ser nada estimulante ter que contar todos estes quadrados, por mais simples que seja o processo de contagem. Será que não existe um atalho, uma forma econômica de resolver esta questão? Às vezes, quando nos deparamos com uma situação mais complicada, pode ser interessante tentar trabalhar com uma situação semelhante e mais simples. Veja as figuras a seguir.
Temos aqui três pilhas “triangulares” semelhantes ao desenho do exemplo, mas com menos quadrados (note o padrão de arrumação das pilhas, com cada coluna tendo um quadrado a mais do que a coluna anterior). Em todos os casos podemos estender a figura até obter um retângulo. Em cada retângulo obtido, a área da pilha triangular é metade da área do retângulo. Se a pilha triangular de quadrados tem n quadrados na base, o retângulo tem a base com n unidades e a altura com n + 1 unidades. Assim, a área do retângulo é dada por n(n + 1). Neste caso, a área da pilha triângular é n(n + 1)/2. Como a área é dada pelo número de quadrados unitários que compõem a figura, temos que a quantidade de quadrados em uma pilha triangular de quadrados com n quadrados na base é dada por n(n + 1)/2. Confira a fórmula com as 3 pilhas acima.

Se esta fórmula funciona mesmo, verificando que a pilha de quadrados do exemplo tem 32 quadrados na base, temos que a pilha tem ao todo 32(32 + 1)/2=1056/2=528. Você pode conferir o resultado contando cada quadrado, um por um.

Desafio: Dê uma expressão reduzida para a soma 1 + 2 + 3 + ... + n.

Observação: Caro visitante, é bom ficar claro que aqui é um espaço para alguns toques e até para discussões, mas não tenho o objetivo de esgotar assuntos, muito menos de dar explicações completas (dúvidas, ou críticas, podem (e devem) ser colocadas nos comentários). Meu propósito nestas postagens sobre iniciação é alertar para uma capacidade de resolver problemas que nós temos, independente de não conhecer determinada técnica matemática. Este alerta serve para nós mesmos, mas também serve para quando ensinamos (para o caso de quem é professor). O fato é que é possível resolver muito problema de Matemática, mesmo sabendo pouca Matemática.

domingo, 5 de setembro de 2010

Sobre uma iniciação à Matemática

“Eu não sei nada de Matemática”, "Sou péssimo em Matemática". Este tipo de frase é bastante comum, não? Saiba, então, que, se você sabe contar, não tem o direito de repeti-las. Veja os exemplos a seguir.

Exemplo 1: Determine o perímetro do triângulo dado na figura.

Exemplo 2: Um forno é desligado quando a temperatura estava a 200ºC. Passado um minuto, o cozinheiro verificou que a temperatura tinha mudado para 188ºC, ou seja tinha diminuído 12ºC. Passado mais um minuto, o cozinheiro verificou que a temperatura tinha diminuído mais 12ºC, passando para 176ºC. Admitindo que este comportamento se mantenha, quanto tempo o forno levará para atingir a temperatura ambiente de 20ºC?

Exemplo 3: Um comerciante compra um determinado produto do fabricante. Este cobra 100 reais pela entrega e mais 15 reais por cada peça. Porém, o comerciante descobriu um novo fabricante que vende o mesmo tipo de peça, mas por 13 reais a unidade. O problema é que a taxa de entrega é de 150 reais. Se o comerciante pretende comprar 14 peças, qual fabricante oferece as melhores condições?

Exemplo 4: Uma piscina de 300 litros, vazia, recebe água a uma vazão constante. Imagine que você tenha um balde de 6 litros e que marcou o tempo que levava para encher o balde, 2 minutos. Quando a piscina ficará cheia?

Exemplo 5: Determine o número de múltiplos de 4 que estão entre 15 e 65.

Exemplo 6: Determine a probabilidade de se obter, em dois lançamentos de um dado, o número 2 e 3, independente da ordem.

As técnicas matemáticas para a resolução dos problemas acima são as mais variadas. Pode-se tentar usar trigonometria no exemplo 1, pode-se usar a tradução algébrica do problema do exemplo 2 para encontrar o tempo pedido, pode-se usar análise de gráficos no exemplo 3, pode-se usar regra de 3 no exemplo 4, pode-se usar progressão aritmética no exemplo 5, pode-se usar a teoria de probabilidade no exemplo 6.

Contudo, achar que só se pode resolver os problemas dados se as técnicas forem conhecidas é um grande engano. Qualquer pessoa que saiba contar pode resolver tranquilamente qualquer um dos problemas acima.

Vejamos o exemplo 2. À medida que o tempo passa, a cada minuto a temperatura diminui 12ºC. Assim, percorrendo os valores diminuídos de 12, a partir de 200ºC, temos: 188ºC, 176 ºC, 164 ºC, 152 ºC, 140ºC, 128ºC, 116ºC, 104ºC, 92ºC, 80ºC, 68ºC, 56ºC, 44ºC, 32ºC, 20ºC. Logo, após 15 minutos, o forno atinge a temperatura ambiente de 20ºC.

Existem dois aspectos na mensagem que estou passando. Em primeiro lugar, fique atento para este poderoso método matemático, muitas vezes negligenciado. Existem muitas situações no estudo matemático onde se pode aplicar contagens. Inclusive, existem situações não tão elementares como as ilustradas aqui. Um bom exemplo disso é o teorema de Lagrange para grupos, que diz que a ordem de um subgrupo divide a ordem do grupo. A demonstração deste fato para grupos finitos é um simples ato de contagem.

A minha dica para este caso é conhecer as propriedades da teoria dos conjuntos, principalmente sobre cardinalidade. Um bom exemplo é aquela que diz que n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A "interseção" B), onde n(X) representa o número de elementos de X.

O outro aspecto que quero levantar aqui é com relação ao ensino da Matemática. Se você já dá aula de Matemática, ou pretende dar aula, pense se não seria melhor para o processo de aprendizagem de um aluno primeiro lidar com questões de forma pura, sem uso de qualquer técnica, para só depois introduzir novas técnicas que eventualmente facilitem a vida do estudante.

Eu acredito que o uso sistemático de contagens pode ser um ótimo aliado na introdução de técnicas. Imagine ter que resolver um problema que custe tempo, espaço e esforço, quando se pode resolvê-lo com muito mais rapidez e facilidade. Por exemplo, se um aluno sabe expressar algebricamente o problema do exemplo 2, y = 200 - 12x, onde x representa o tempo decorrido e y a temperatura, e conhece as técnicas da Álgebra de manipulação de expressões então poderá resolvê-lo muito facilmente: 20 = 200 - 12x, donde x = 180/12 = 15. (Compare esta solução com a anterior, por contagem.) Este confronto de técnicas parece ser um bom recurso de ensino. Além do mais, me parece um crime, uma pessoa deixar de resolver uma questão porque não conhece a técnica sobre a questão.

Uma curiosidade: Uma vez, num concurso, me deparei com uma questão sobre área que envolvia um círculo grande e vários círculos no interior do círculo grande. Eu não tinha a menor idéia de como resolvê-la. Sem saber o que fazer, eu estimei o valor da área de um dos pequenos círculos (baseado no desenho mesmo) e depois contei as figuras dadas e obtive um valor final, que batia com uma das respostar da múltipla escolha. Acertei a questão.

A propósito, você consegue aplicar contagem nos outros problemas?

quarta-feira, 1 de setembro de 2010

Livros que não podem faltar na formação de um estudante de Matemática

Esta é uma lista de ótimos livros de divulgação da Matemática.
  • Courant, R., Hobbins, H., O que é Matemática? Rio de Janeiro, Ciência Moderna, 2000 (1941).
  • Aleksandrov, A. D., Kolmogorov, A. N. e outros, La matemática: su contenido, métodos y significado, Madri, Alianza Editorial, 1976. (Existe uma edição em inglês)
  • Dantzig, T., Números: A linguagem da Ciência, Rio de Janeiro, Zahar, 1970.
  • Caraça, B. J. - Conceitos Fundamentais da Matemática.
  • Lakatos, I., A Lógica do Descobrimento Matemático, Rio de Janeiro, Zahar, 1978.
  • Baker, S., Filosofia da Matemática, Rio de Janeiro, Zahar, 1969.
  • Costa, M.A., As ideias fundamentais da Matematica.
  • Le Lionnais, F. e colaboradores, Las Grandes Corrientes del Pensamiento Matemático, Editorial Universitária de Buenos Aires, 1965.
Estes são os principais livros que fizeram parte da minha formação durante a graduação. Eles estão em ordem de minha apreciação. Leitura é fundamental para a vida de qualquer (eterno) estudante. Assim, aproveite estas indicações.

Alguém gostaria de sugerir alguma outra referência?